Урок по теме касательная к графику функции. Теперь получим уравнение касательной к графику функции

Слайд 8

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны

Параллельны ли прямые:

Слайд 9

Пусть дан график функции y=f(x). На нем выбрана точка M(a;f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Слайд 10

Геометрический смысл производной

Если к графику функции y = f (x)в точке можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной

Слайд 11

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. Т.е. Причем, если: .

Слайд 12

Вывод уравнения касательной

Пусть прямая задана уравнением: уравнение касательной к графику функции

Слайд 13

Составить уравнение касательной:

к графику функции в точке

Слайд 14

к графику функции в точке

Слайд 15

Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y=f(x).

Обозначим абсциссу точки касания буквой x=a. Вычислим. Найдем и. Подставим найденные числа a , в формулу

Слайд 16

Составить уравнение касательной к графику функции в точке.

Слайд 17

К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой.

Слайд 18

Слайд 19

Самостоятельная работа

Слайд 20

Номера из учебника

№ 29.3 (а,в) № 29.12 (б,г) № 29.18 № 29.23 (а)

Слайд 21

Ответьте на вопросы:

Что называется касательной к графику функции в точке? В чем заключается геометрический смысл производной? Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

Слайд 22

Домашняя работа

№ 29.3 (б,г) № 29.12 (а,в) № 29.19 № 29.23 (б)

Слайд 23

Литература

Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009. Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010 ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010

Посмотреть все слайды

Видеоурок «Уравнение касательной к графику функции» демонстрирует учебный материал для освоения темы. В ходе видеоурока представлен теоретический материал, необходимый для формирования понятия об уравнении касательной к графику функции в данной точке, алгоритм нахождения такой касательной, описаны примеры решения задач с использованием изученного теоретического материала.

В видеоуроке используются методы, улучшающие наглядность материала. В представлении вставлены рисунки, схемы, даются важные голосовые комментарии, применяется анимация, выделение цветом и другими инструментами.

Видеоурок начинается с представления темы урока и изображения касательной к графику некоторой функции y=f(x) в точке M(a;f(a)). Известно, что угловой коэффициент касательной, построенной к графику в данной точке, равен производной функции f΄(a) в данной точке. Также из курса алгебры известно уравнение прямой y=kx+m. Схематично представлено решение задачи нахождения уравнения касательной в точке, которая сводится к нахождению коэффициентов k, m. Зная координаты точки, принадлежащей графику функции, можем найти m, подставив значение координат в уравнение касательной f(a)=ka+m. Из него находим m=f(a)-ka. Таким образом, зная значение производной в данной точке и координаты точки, можно представить уравнение касательной таким образом y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Далее рассматривается пример составления уравнения касательной, следуя схеме. Дана функция y=x 2 , x=-2. Приняв а=-2, находим значение функции в данной точке f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Определяем производную функции f΄(х)=2х. В данной точке производная равна f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Для составления уравнения найдены все коэффициенты а=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, поэтому уравнение касательной у=4+(-4)(х+2). Упростив уравнение, получаем у=-4-4х.

В следующем примере предлагается составить уравнение касательной в начале координат к графику функции y=tgx. В данной точке а=0, f(0)=0, f΄(х)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Таким образом, уравнение касательной выглядит у=х.

В качестве обобщения процесс составления уравнения касательной к графику функции в некоторой точке оформляется в виде алгоритма, состоящего из 4 шагов:

• Вводится обозначение а абсциссы точки касания;
• Вычисляется f(a);
• Определяется f΄(х) и вычисляется f΄(a). В формулу уравнения касательной y=f(a)+f΄(a)(x-a) подставляются найденные значения а, f(a), f΄(a).

В примере 1 рассматривается составление уравнения касательной к графику функции у=1/х в точке х=1. Для решения задачи пользуемся алгоритмом. Для данной функции в точке а=1 значение функции f(a)=-1. Производная функции f΄(х)=1/х 2 . В точке а=1 производная f΄(a)= f΄(1)=1. Используя полученные данные, составляется уравнение касательной у=-1+(х-1), или у=х-2.

В примере 2 необходимо найти уравнение касательной к графику функции у=х 3 +3х 2 -2х-2. Основное условие - параллельность касательной и прямой у=-2х+1. Сначала находим угловой коэффициент касательной, равный угловому коэффициенту прямой у=-2х+1. Так как f΄(a)=-2 для данной прямой, то k=-2 и для искомой касательной. Находим производную функции (х 3 +3х 2 -2х-2)΄=3х 2 +6х-2. Зная, что f΄(a)=-2, находим координаты точки 3а 2 +6а-2=-2. Решив уравнение, получаем а 1 =0, а 2 =-2. Используя найденные координаты, можно найти уравнение касательной с помощью известного алгоритма. Находим значение функции в точках f(а 1)=-2, f(а 2)=-18. Значение производной в точке f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Подставив найденные значения в уравнение касательной, получим для первой точки а 1 =0 у=-2х-2, а для второй точки а 2 =-2 уравнение касательной у=-2х-22.

В примере 3 описывается составление уравнения касательной для ее проведения в точке (0;3) к графику функции y=√x. Решение производится по известному алгоритму. Точка касания имеет координаты х=а, где а>0. Значение функции в точке f(a)=√x. Производная функции f΄(х)=1/2√х, поэтому в данной точке f΄(а)=1/2√а. Подставив все полученные значения в уравнение касательной, получаем у=√а+(х-а)/2√а. Преобразовав уравнение, получаем у=х/2√а+√а/2. Зная, что касательная проходит через точку (0;3), находим значение а. Находим а из 3=√а/2. Отсюда √а=6, а=36. Находим уравнение касательной у=х/12+3. На рисунке изображается график рассматриваемой функции и построенная искомая касательная.

Ученикам напоминаются приближенные равенства Δy=≈f΄(x)Δxи f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Принимая х=а, x+Δx=х, Δx=х-а, получаем f(х)- f(а)≈f΄(а)(х-а), отсюда f(х)≈f(а)+f΄(а)(х-а).

В примере 4 необходимо найти приближенное значение выражение 2,003 6 . Так как необходимо отыскать значение функции f(х)=х 6 в точке х=2,003, можем воспользоваться известной формулой, приняв f(х)=х 6 , а=2, f(а)= f(2)=64, f΄(x)=6х 5 . Производная в точке f΄(2)=192. Поэтому 2,003 6 ≈65-192·0,003. Вычислив выражение, получаем 2,003 6 ≈64,576.

Видеоурок «Уравнение касательной к графику функции» рекомендуется использовать на традиционном уроке математики в школе. Учителю, осуществляющему обучению дистанционно, видеоматериал поможет более понятно объяснить тему. Видео может быть рекомендовано для самостоятельного рассмотрения учениками при необходимости углубить их понимание предмета.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Нам известно, что если точка М (а; f(а)) (эм с координатами а и эф от а) принадлежит графику функции у =f (x) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную к оси абсцисс, то угловой коэффициент касательной равен f"(a) (эф штрих от а).

Пусть даны функция у = f(x) и точка М (a; f(a)), a также известно, что существует f´(a). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид y = kx+m (игрек равный ка икс плюс эм), поэтому задача состоит в отыскании значений коэффициентов k и m.(ка и эм)

Угловой коэффициент k= f"(a). Для вычисления значения m воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f (а)). Это значит, что, если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: f(a) = ka+m, откуда находим, что m = f(a) - ka.

Осталось подставить найденные значения коэффициентов kи mв уравнение прямой:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

y = f (a )+ f "(a ) (x - a ). (игрек равен эф от а плюс эф штрих от а, умноженный на икс минус а).

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х=а.

Если, скажем, у = х 2 и х= -2 (т.е. а = -2), то f(а) = f(-2) = (-2) 2 =4; f´(x) = 2х, значит, f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (то эф от а равно четыре, эф штрих от икс равно два икс, значит эф штрих от а равно минус четыре)

Подставив в уравнение найденные значения a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4, получим: у = 4+(-4)(х+2), т.е. у = -4х-4.

(игрек равен минус четыре икс минус четыре)

Составим уравнение касательной к графику функции у = tgx(игрек равен тангенс икс) в начале координат. Имеем: а = 0, f(0) = tg0=0;

f"(x)= , значит, f"(0) = l. Подставив в уравнение найденные значения а=0, f(a)=0, f´(a) = 1, получим: у=х.

Обобщим наши шаги нахождения уравнения касательной к графику функции в точке х с помощью алгоритма.

АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ у = f(x):

1) Обозначить абсциссу точки касания буквой а.

2) Вычислить f (а).

3) Найти f´(x) и вычислить f´(a).

4) Подставить найденные числа a, f(a), f´(а) в формулуy = f (a )+ f "(a ) (x - a ).

Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции у = - в

точке х = 1.

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Подставим найденные три числа: а = 1, f(а) = -1, f"(а) = 1 в формулу. Получим: у = -1+(х-1), у = х-2.

Ответ: у = х-2.

Пример 2. Дана функция у = х 3 +3х 2 -2х-2 . Записать уравнение касательной к графику функции у= f(х), параллельной прямой у = -2х +1.

Используя алгоритм составления уравнения касательной, учтем, что в данном примере f(x) = х 3 +3х 2 -2х-2 , но здесь не указана абсцисса точки касания.

Начнем рассуждать так. Искомая касательная должна быть параллельна прямой у = -2х+1. А параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту заданной прямой: k кас. = -2. Hok кас. = f"(a). Таким образом, значение а мы можем найти из уравнения f ´(а) = -2.

Найдем производную функции у= f (x ):

f "(x )= (х 3 +3х 2 -2х-2)´ =3х 2 +6х-2; f "(а)= 3а 2 +6а-2.

Из уравнения f"(а) = -2, т.е. 3а 2 +6а-2 =-2 находим а 1 =0, a 2 =-2. Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 0, другая в точке с абсциссой -2.

Теперь можно действовать по алгоритму.

1) а 1 =0, а 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2 ; f(a 2)=(-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6 ;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Подставив значения a 1 = 0, f(a 1) =-2, f"(a 1) = -2 в формулу, получим:

у=-2-2(х-0), у=-2х-2.

Подставив значения а 2 =-2, f(a 2) =6, f"(a 2)= -2 в формулу, получим:

у=6-2(х+2), у=-2х+2.

Ответ: у=-2х-2, у=-2х+2.

Пример 3. Из точки (0; 3) провести касательную к графику функции у = . Решение. Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере f(x) = . Заметим, что и здесь, как в примере 2, не указана явно абсцисса точки касания. Тем не менее, действуем по алгоритму.

1) Пусть х = а — абсцисса точки касания; ясно, что а >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Подставив значения a, f(a) = , f"(a) = в формулу

y=f (a) +f "(a) (x-a) , получим:

По условию касательная проходит через точку (0; 3). Подставив в уравнение значения х = 0, у = 3, получим: 3 = , и далее =6, a =36.

Как видите, в этом примере только на четвертом шаге алгоритма нам удалось найти абсциссу точки касания. Подставив значение a =36 в уравнение, получим: y=+3

На рис. 1 представлена геометрическая иллюстрация рассмотренного примера: построен график функции у =, проведена прямая у = +3.

Ответ: у = +3.

Нам известно, что для функции y = f(x), имеющей производную в точке х, справедливо приближенное равенство: Δyf´(x)Δx (дельта игрек приближенно равно эф штрих от икс, умноженное на дельта икс)

или, подробнее, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (эф от икс плюс дельта икс минус эф от икс приближенно равно эф штрих от икс на дельта икс).

Для удобства дальнейших рассуждений изменим обозначения:

вместо х будем писать а ,

вместо х+Δxбудем писать х

вместо Δх будем писать х-а.

Тогда написанное выше приближенное равенство примет вид:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (эф от икс приближенно равно эф от а плюс эф штрих от а, умноженное на разность икса и а).

Пример 4. Найти приближенное значение числового выражения 2,003 6 .

Решение. Речь идет об отыскании значения функции у = х 6 в точке х = 2,003. Воспользуемся формулой f(x)f(a)+f´(a)(x-a), учтя, что в данном примере f(x)=x 6 , a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 и, следовательно, f"(а) = f"(2) = 6·2 5 =192.

В итоге получаем:

2,003 6 64+192· 0,003, т.е. 2,003 6 =64,576.

Если мы воспользуемся калькулятором, то получим:

2,003 6 = 64,5781643...

Как видите, точность приближения вполне приемлема.

Разделы: Математика

Класс: 10

Цель урока. Обобщение, систематизация и углубление знаний по теме “Геометрический смысл производной.”.

Задачи урока.

• Развивать умения применять теоретические знания при решении заданий различной сложности.
• Подготовка к ЕГЭ
• Развивать умение распределять время урока, оценивать свою учебную деятельность.

Оборудование: Интерактивная доска, презентация, чертежные инструменты, мел, учебники, тетради. У каждого на столе кроссворд.

Тип урока. Урок систематизации и углубления знаний по теме.(подготовка к ЕГЭ.).

Ход урока

1. Повторение теоретического материала. Решение кроссворда (Слайд - 3)

2. Повторить алгоритм составления уравнения касательной . (Слайд - 6.7)

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x 0 , надо найти

2) у"(x0) =f"(x 0)

3) у(x0) =f(x 0)

4) Подставим найденные числа, в формулу

3. Решение примеров. Взаимопроверка. Самопроверка. Составить уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x 0.

а) , х 0 =1 (Слайд - 7,8)

б) у=-х 2 +4, х 0 =-1 (Слайд - 9,10)

в)у=х 3 , х 0 =1 (Слайд - 12-15)

г) х 0 =4 (Слайд - 16,17)

д) у = tgx в точке x 0 =0 (Слайд - 20-22)

4. Решение сложных задач.

Второй тип уравнения касательной. (Слайд - 23)

• Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x0), если касательная параллельна прямой y= kx+b.

Алгоритм нахождения.

1. Найдем производную функции.

2. Так как угловой коэффициент касательной к графику функции y= f(x0) равен значению производной функции, т.е. k=f " (x0), то абсциссу точки касания найдем, решив уравнение f "(х0) = k.

3. Найдем значение функции в точке x0 .

4. Подставив найденные значения в формулу получим уравнение касательной.

Третий тип уравнения касательной. (Слайд - 27)

Написать уравнение касательной к графику функции у=f(x), если известно, что эта касательная проходит через точку A(x 0 ,y 0).

Алгоитм решения.

• Написать уравнение касательной к графику функции у=f(x), если известно, что эта касательная проходит через точку A(x 0 ,y 0).

У=(х-2) 2 -1 ; А(3;-1) (Слайд - 28-30)

Четвертый тип уравнения касательной. (Слайд - 31)

• Составить уравнение общей касательной к графикам функций y= f(X) и y = g (x).

Алгоритм решения.

1. Введем предполагаемые точки касания х1 - для функции y= f(x) и х2 - для функции y= g(x).
2. Найдем производные данных функций.
3. Найдем значения производных в этих точках f "(х1) и g " (х2).
4. Найдем значения функций в этих точках y = f(х1) и y = g(х2).
5. Составим уравнения касательных соответственно для каждой функции.
6. Выпишем угловые коэффициенты k1, k2 и b1, b2.
   Так как касательная общая, то угловые коэффициенты равны и равны значения b. k1 = k2 и b1= b2
7. Составим систему уравнений и решив ее, найдем значения х1 и х2
8. Найденные значения подставим в общие уравнения касательных.
9. Уравнения получились одинаковые. Получили уравнение общей касательной к графикам

• Составить уравнение общей касательной к графикам функций y=f(x) и y= g(x).
  У-(х-+2) 2 - 3 и у=х 2 (Слайд - 32-36)

Решение заданий в формате ЕГЭ (Слайд - 37-40)

Разделы: Математика

Цели.

• Обобщить и систематизировать правила дифференциирования;
• Повторить алгоритм построение касательной к графику функции, схему исследования функции;
• Решение задач на применение наибольшего и наименьшего значения функции.

Оборудование. Плакат “Производная. Правила вычисления производных. Применения производной”.

Ход урока

По картам у учащихся повторение теоретического материала.

1. Дайте определение производной функции в точке. Что называется дифференциированием? Какую функцию называют дифференциируемой в точке?

(Производной функции f в точке х называется число, к которому стремится отношение

Функцию, имеющую производную в точке х 0 , называют дифференциируемой в этой точке. Нахождение производной f называется дифференциированием.)

2. Сформулируйте правила нахождения производной.

(1. Производная суммы (u + v)"=u"+v";
2. О постоянном множителе (Cu)"=Cu";
3. Производная произведения (uv)"=u"v+uv";
4. Производная дроби (u/v)"=(u"v-uv")/v 2 ;
5. Производная степенной функции (x n)"=nx n+1 .)

3. Чему равны производные следующих функций:

4. Как найти производную сложной функции?

(Надо последовательно представить ее в виде элементарных функций и взять производную по известным правилам).

5. Чему равны производные следующих функций:

6. В чем заключается геометрический смысл производной?

(Существование производной в точке эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (х 0 ,f(x 0)) графика функции, причем угловой коэффициент этой касательной равен f "(x 0)).

7. Какой вид имеет уравнение касательной к графику функции в точке (x 0 ,f(x 0))?

(Уравнение касательной имеет вид у=f(x 0)+f"(x 0)(x-х 0))

8. Сформулируете алгоритм построения графика функции с помощью производной.

(1. Найти ООФ.
2. Исследовать на четность.
3. Исследовать на периодичность.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат.
5. Найти производную функции и ее критические точки.
6. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
7. Построить таблицу по результатам исследования.
8. Построить график функции.)

9. Сформулировать теоремы, с помощью которых модно построить график функции.

(1. Признак возрастания (убывания).
2. Необходимый признак экстремума.
3. Признак максимума (минимума).)

10. Какие формулы существуют для приближенных вычислений функций?

Индивидуальная работа.

Уровень А (три варианта), уровень Б (один вариант).

Уровень А.

Вариант 1.

1. Запишите уравнение касательной к графику функции

f(x)=(x -1) 2 (x -3) 3 параллельной прямой у=5-24х.

2. Число 18 педставьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в два раза больше другого, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим.

4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=(x-1) e х+1 .

Вариант 2.

1. Под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная к графику функции f(x)=0,x 2 +x-1,5 в точке с абсциссой х 0 = - 2? Напишите уравнение этой касательной и выполните рисунок к этой задаче.

2. Как в В. 1.

3. Найдите производную функции:

Уровень Б.

1. Найдите производную функции:

а) f(x) = e -5х;
б) f(x) = log 3 (2x 2 -3x+1).

2. Напишите уравение касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 , если f(x)=e -х, х 0 = 1.

3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=x·e 2х.

Итог урока.

Проверяется работа, выставляется отметка за теорию и практику.

Домашнее задание дается индивидуально:

а)повторить производные тригонометрических функций;
б)метод интервалов;
в)механический смысл производной.

2. А: №138, №142, Б: №137(а,б), №140(а).

3. Возмите производную функций:

а) f(x)=x 4 -3x 2 -7;
б) f(x)=4x 3 -6x;
в) f(x)=-2sin(2x-4);
г) f(x)=cos(2x-4).

4. Назовите схему исследования функции.